🔢 บทที่ 2: พีชคณิต (Algebra)

พีชคณิตคือภาษาของคณิตศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน
เรียนรู้การใช้ตัวแปร สมการ และการแก้ปัญหาเชิงพีชคณิต

📚 สารบัญเนื้อหา

1. พื้นฐานพีชคณิต
- ตัวแปร พจน์ นิพจน์
- ค่าคงที่และสัมประสิทธิ์
- การแทนค่าตัวแปร
2. การดำเนินการพีชคณิต
- บวก ลบ พจน์ที่เหมือนกัน
- คูณ หาร นิพจน์
- กฎการแจกแจง
3. สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
- รูปแบบสมการ ax + b = c
- วิธีแก้สมการ
- การตรวจสอบคำตอบ

4. การแยกตัวประกอบ
- การหาตัวประกอบร่วม
- กำลังสองสมบูรณ์
- ผลต่างกำลังสอง
5. สมการกำลังสอง
- รูปแบบ ax² + bx + c = 0
- สูตรหาคำตอบ
- การแยกตัวประกอบ
6. ระบบสมการเชิงเส้น
- สมการ 2 ตัวแปร
- วิธีแทนค่า
- วิธีกำจัดตัวแปร

⏱️ เวลาเรียน: 120 นาที | 📝 แบบฝึกหัด: 40 ข้อ | 💯 ข้อสอบจำลอง: 60 ข้อ

📐 ส่วนที่ 1: พื้นฐานพีชคณิต

พีชคณิต (Algebra) คือ สาขาคณิตศาสตร์ที่ใช้สัญลักษณ์ (ตัวอักษร) แทนจำนวนที่ไม่ทราบค่า เพื่อแสดงความสัมพันธ์และแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบ

1.1 องค์ประกอบพื้นฐานของพีชคณิต

เริ่มต้นเรียนรู้ส่วนประกอบต่างๆ ของพีชคณิต ซึ่งเป็นรากฐานสำคัญก่อนเรียนเรื่องอื่นๆ

🔵 ตัวแปร (Variable)

สัญลักษณ์ที่ใช้แทนจำนวนที่ไม่ทราบค่า มักใช้ตัวอักษร เช่น x, y, z, a, b

ตัวอย่าง: $x, y, z, a, b$

💡 ตัวแปรสามารถแทนค่าต่างๆ ได้ตามโจทย์

🟢 ค่าคงที่ (Constant)

ตัวเลขที่มีค่าแน่นอนไม่เปลี่ยนแปลง เช่น 1, 2, 3, -5, 0.5

ตัวอย่าง: $5, -3, 7, 0, \frac{1}{2}$

💡 ค่าคงที่ไม่มีตัวแปรติดอยู่

🟡 พจน์ (Term)

ส่วนประกอบของนิพจน์ที่คั่นด้วยเครื่องหมาย + หรือ −

ตัวอย่าง: ใน $3x + 5y - 2$

มี 3 พจน์: $3x, 5y, -2$

🟣 สัมประสิทธิ์ (Coefficient)

ตัวเลขที่คูณกับตัวแปร

ตัวอย่าง: ใน $5x$

สัมประสิทธิ์คือ $5$

1.2 นิพจน์พีชคณิต (Algebraic Expression)

นิพจน์พีชคณิตคือ การรวมกันของตัวเลข ตัวแปร และเครื่องหมายดำเนินการ (+, −, ×, ÷)

📌 ประเภทของนิพจน์

ประเภท	คำอธิบาย	ตัวอย่าง
พจน์เดี่ยว (Monomial)	มี 1 พจน์	$5x, -3y^2, 7$
ทวิพจน์ (Binomial)	มี 2 พจน์	$3x + 5, 2a - 7b$
ตรีพจน์ (Trinomial)	มี 3 พจน์	$x^2 + 5x + 6$
พหุพจน์ (Polynomial)	มีหลายพจน์	$2x^3 + 3x^2 - 5x + 1$

1.3 พจน์ที่เหมือนกัน (Like Terms)

พจน์ที่เหมือนกันคือพจน์ที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน (สัมประสิทธิ์ต่างกันได้)

✅ พจน์ที่เหมือนกัน

$3x$ และ $5x$ ✓
$2x^2$ และ $-7x^2$ ✓
$4xy$ และ $9xy$ ✓
$6$ และ $-2$ ✓

💡 บวกลบกันได้

❌ พจน์ที่ต่างกัน

$3x$ และ $5y$ ✗
$2x$ และ $2x^2$ ✗
$4xy$ และ $4x$ ✗
$5a$ และ $3b$ ✗

⚠️ บวกลบกันไม่ได้

1.4 การรวมพจน์ที่เหมือนกัน

การรวมพจน์ที่เหมือนกันทำได้โดยนำสัมประสิทธิ์มาบวกหรือลบกัน แล้วเขียนตัวแปรตามไป

📐 สูตรการรวมพจน์

$ax + bx = (a+b)x$

นำสัมประสิทธิ์มาบวกกัน แล้วตามด้วยตัวแปร

✏️ ตัวอย่างที่ 1: รวมพจน์เดียว

5x + 3x = (5+3)x = 8x

✏️ ตัวอย่างที่ 2: รวมหลายพจน์

7y - 2y + 4y = (7-2+4)y = 9y

✏️ ตัวอย่างที่ 3: รวมนิพจน์ผสม

3x + 5y + 2x - y = (3x + 2x) + (5y - y) = 5x + 4y

1.5 การแทนค่าในนิพจน์

การแทนค่าคือการนำค่าของตัวแปรที่กำหนดมาแทนในนิพจน์ แล้วคำนวณหาผลลัพธ์

📝 ขั้นตอนการแทนค่า

เขียนนิพจน์ที่ต้องการ
แทนค่าตัวแปรที่กำหนดให้
คำนวณตามลำดับขั้น (เลขยกกำลัง → คูณหาร → บวกลบ)
หาคำตอบ

✏️ ตัวอย่างที่ 1: แทนค่าตัวแปรเดียว

หาค่าของ $3x + 5$ เมื่อ $x = 4$

วิธีทำ:

3x + 5 = 3(4) + 5 = 12 + 5 = 17

✏️ ตัวอย่างที่ 2: แทนค่าหลายตัวแปร

หาค่าของ $2x + 3y - 4$ เมื่อ $x = 5$ และ $y = 2$

วิธีทำ:

2x + 3y - 4 = 2(5) + 3(2) - 4 = 10 + 6 - 4 = 12

✏️ ตัวอย่างที่ 3: แทนค่ามีเลขยกกำลัง

หาค่าของ $x^2 - 2x + 1$ เมื่อ $x = 3$

วิธีทำ:

x^2 - 2x + 1 = (3)^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4

✍️ แบบฝึกหัดท้ายบท

ทดสอบความเข้าใจด้วยโจทย์เหล่านี้ พร้อมเฉลยละเอียด

📌 ข้อ 1: จงรวมพจน์ที่เหมือนกัน:

5x + 3y + 2x - y

▼

เฉลย:

แยกพจน์ที่เหมือนกัน: $(5x + 2x) + (3y - y)$
บวกสัมประสิทธิ์: $7x + 2y$

✅ ตอบ: $7x + 2y$

📌 ข้อ 2: หาค่าของ

4x - 7

เมื่อ

x = 5

▼

เฉลย:

แทนค่า $x = 5$
$4(5) - 7 = 20 - 7 = 13$

✅ ตอบ: $13$

📌 ข้อ 3: จงรวมพจน์:

8a - 3a + 5a - 2a

▼

เฉลย:

นำสัมประสิทธิ์มาบวกลบ: $8 - 3 + 5 - 2 = 8$
เขียนตามด้วยตัวแปร: $8a$

✅ ตอบ: $8a$

📌 ข้อ 4: หาค่าของ

x^2 + 3x - 5

เมื่อ

x = 2

▼

เฉลย:

แทนค่า $x = 2$
$(2)^2 + 3(2) - 5$
$= 4 + 6 - 5 = 5$

✅ ตอบ: $5$

📌 ข้อ 5: หาค่าของ

2a + 3b

เมื่อ

a = 4

และ

b = -2

▼

เฉลย:

แทนค่า $a = 4$ และ $b = -2$
$2(4) + 3(-2)$
$= 8 - 6 = 2$

✅ ตอบ: $2$

📌 ข้อ 6: จงรวมและเรียงลำดับ:

3x^2 + 5x - 2x^2 + 7 - 3x

▼

เฉลย:

แยกพจน์ตามชนิด: $(3x^2 - 2x^2) + (5x - 3x) + 7$
รวมพจน์เหมือนกัน: $x^2 + 2x + 7$
เรียงตามเลขชี้กำลังสูงไปต่ำ

✅ ตอบ: $x^2 + 2x + 7$

📊 สรุปส่วนที่ 1

✅ ความรู้สำคัญที่ต้องจำ

ตัวแปร: สัญลักษณ์แทนจำนวนที่ไม่ทราบค่า
ค่าคงที่: ตัวเลขที่มีค่าแน่นอน
พจน์: ส่วนประกอบของนิพจน์
สัมประสิทธิ์: ตัวเลขหน้าตัวแปร

พจน์เหมือนกัน: ตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน
การรวมพจน์: บวกลบสัมประสิทธิ์
การแทนค่า: แทนตัวแปรด้วยตัวเลขที่กำหนด
ลำดับการคำนวณ: เลขยกกำลัง → คูณหาร → บวกลบ

💡 เทคนิคจำง่าย

✅ พจน์เหมือนกัน: ต้องมีตัวแปรเหมือนทุกอย่าง (ชนิดและเลขชี้กำลัง)
✅ รวมพจน์: บวกลบแค่ตัวเลขหน้า (สัมประสิทธิ์) ตัวแปรไม่เปลี่ยน
✅ แทนค่า: ใส่วงเล็บทุกครั้งก่อนคำนวณ เช่น $3(2)$ ไม่ใช่ $32$
✅ เครื่องหมาย: ระวังเครื่องหมาย − หน้าพจน์ ต้องคูณทั้งหมด
✅ ตัวแปร 1: $x = 1x$ (สัมประสิทธิ์เป็น 1)
✅ ตัวแปรไม่เหมือน: $3x + 5y$ รวมไม่ได้ ต้องเขียนแยก
✅ ลำดับขั้น: ทำเลขยกกำลังก่อนเสมอ แล้วค่อยคูณหาร

🎯 ขั้นต่อไป

คุณได้เรียนรู้พื้นฐานพีชคณิตเรียบร้อยแล้ว
พร้อมสำหรับส่วนที่ 2: การดำเนินการพีชคณิต

ไปส่วนที่ 2 →

ทำแบบฝึกหัดเพิ่ม

📚 ส่วนถัดไป: การดำเนินการพีชคณิต – บวก ลบ คูณ หาร นิพจน์

🔢 บทที่ 2: พีชคณิต (Algebra)

ส่วนที่ 2: การดำเนินการพีชคณิต
เรียนรู้การบวก ลบ คูณ หาร นิพจน์พีชคณิตและกฎการแจกแจง

➕ ส่วนที่ 2: การดำเนินการพีชคณิต

การดำเนินการพีชคณิตเป็นทักษะสำคัญในการแก้สมการและจัดการกับนิพจน์ต่างๆ เราจะเรียนรู้วิธีการบวก ลบ คูณ และหารนิพจน์พีชคณิตอย่างถูกต้อง

2.1 การบวกและลบนิพจน์พีชคณิต

การบวกและลบนิพจน์พีชคณิตทำได้โดยการรวมพจน์ที่เหมือนกัน และเขียนพจน์ที่ต่างกันไว้ด้วยกัน

📐 กฎการบวกลบ

เอาวงเล็บออก (ถ้ามี) โดยคูณเครื่องหมายเข้าไป
จัดกลุ่มพจน์เหมือนกัน ไว้ด้วยกัน
รวมพจน์เหมือนกัน โดยบวกลบสัมประสิทธิ์
เขียนคำตอบ โดยเรียงตามเลขชี้กำลัง

✏️ ตัวอย่างที่ 1: บวกนิพจน์ง่ายๆ

จงบวก $(3x + 5) + (2x + 7)$

วิธีทำ:

เอาวงเล็บออก: $3x + 5 + 2x + 7$
จัดกลุ่มพจน์เหมือนกัน: $(3x + 2x) + (5 + 7)$
รวมพจน์: $5x + 12$

✅ คำตอบ: $5x + 12$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: ลบนิพจน์ (ระวังเครื่องหมาย)

จงลบ $(5x + 3) - (2x - 4)$

วิธีทำ:

เอาวงเล็บออก (เครื่องหมาย − หน้าวงเล็บจะกลับเครื่องหมายทุกพจน์):
$5x + 3 - 2x + 4$
จัดกลุ่มพจน์เหมือนกัน: $(5x - 2x) + (3 + 4)$
รวมพจน์: $3x + 7$

✅ คำตอบ: $3x + 7$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: หลายตัวแปร

จงคำนวณ $(4x + 3y - 2) + (x - 5y + 7)$

วิธีทำ:

เอาวงเล็บออก: $4x + 3y - 2 + x - 5y + 7$
จัดกลุ่ม: $(4x + x) + (3y - 5y) + (-2 + 7)$
รวมพจน์: $5x - 2y + 5$

✅ คำตอบ: $5x - 2y + 5$

⚠️ ข้อควรระวัง

เครื่องหมาย − หน้าวงเล็บจะกลับเครื่องหมายทุกพจน์ในวงเล็บ
$-(3x - 5) = -3x + 5$ ❌ไม่ใช่ $-3x - 5$
เครื่องหมาย + หน้าวงเล็บไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย
$+(2x + 7) = 2x + 7$

2.2 การคูณนิพจน์พีชคณิต

การคูณนิพจน์พีชคณิตมีหลายรูปแบบ ตั้งแต่การคูณง่ายๆ ไปจนถึงการคูณพหุพจน์

🔵 คูณค่าคงที่กับนิพจน์

คูณค่าคงที่เข้าไปในทุกพจน์

$a(b + c) = ab + ac$

ตัวอย่าง:

3(2x + 5) = 6x + 15

🟢 คูณพจน์เดี่ยวกับพจน์เดี่ยว

คูณสัมประสิทธิ์ แล้วรวมเลขชี้กำลัง

$x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

ตัวอย่าง:

3x^2 \cdot 4x^3 = 12x^5

📌 ตัวอย่างการคูณ

✏️ ตัวอย่างที่ 1: คูณค่าคงที่

คำนวณ $5(3x - 4)$

วิธีทำ:

คูณ 5 เข้าไปในทุกพจน์: $5 \cdot 3x - 5 \cdot 4$
คำนวณ: $15x - 20$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: คูณตัวแปรกับนิพจน์

คำนวณ $2x(3x + 5)$

วิธีทำ:

คูณ $2x$ เข้าไปในทุกพจน์: $2x \cdot 3x + 2x \cdot 5$
คำนวณ: $6x^2 + 10x$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: คูณเครื่องหมายลบ

คำนวณ $-3(2x - 5y + 4)$

วิธีทำ:

คูณ -3 เข้าไปทุกพจน์: $-3 \cdot 2x + (-3) \cdot (-5y) + (-3) \cdot 4$
คำนวณ: $-6x + 15y - 12$

2.3 กฎการแจกแจง (Distributive Property)

กฎการแจกแจงเป็นหลักการสำคัญในพีชคณิต ใช้ในการคูณนิพจน์และการแยกตัวประกอบ

📐 สูตรกฎการแจกแจง

$a(b + c) = ab + ac$

ตัวนำหน้าวงเล็บคูณกับทุกพจน์ในวงเล็บ

📚 รูปแบบต่างๆ ของกฎการแจกแจง

รูปแบบ	สูตร	ตัวอย่าง
บวก	$a(b + c) = ab + ac$	$2(x + 3) = 2x + 6$
ลบ	$a(b - c) = ab - ac$	$3(x - 5) = 3x - 15$
ผสม	$a(b + c - d) = ab + ac - ad$	$2(x + 3 - y) = 2x + 6 - 2y$
ลบหน้า	$-a(b + c) = -ab - ac$	$-2(x + 4) = -2x - 8$

2.4 การคูณทวิพจน์กับทวิพจน์

การคูณทวิพจน์สองตัวใช้หลักการแจกแจง โดยนำพจน์แรกของทวิพจน์แรกคูณกับทุกพจน์ของทวิพจน์ที่สอง แล้วทำเช่นเดียวกันกับพจน์ที่สอง

📐 วิธี FOIL (First, Outer, Inner, Last)

$(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$

First: พจน์แรกของแต่ละวงเล็บ $a \cdot c$
Outer: พจน์นอกสุด $a \cdot d$
Inner: พจน์ในสุด $b \cdot c$
Last: พจน์สุดท้ายของแต่ละวงเล็บ $b \cdot d$

✏️ ตัวอย่างที่ 1: คูณทวิพจน์

คำนวณ $(x + 3)(x + 5)$

วิธีทำ (FOIL):

First: $x \cdot x = x^2$
Outer: $x \cdot 5 = 5x$
Inner: $3 \cdot x = 3x$
Last: $3 \cdot 5 = 15$
รวมพจน์: $x^2 + 5x + 3x + 15 = x^2 + 8x + 15$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: คูณมีเครื่องหมายลบ

คำนวณ $(2x - 3)(x + 4)$

วิธีทำ:

F: $2x \cdot x = 2x^2$
O: $2x \cdot 4 = 8x$
I: $-3 \cdot x = -3x$
L: $-3 \cdot 4 = -12$
รวมพจน์: $2x^2 + 8x - 3x - 12 = 2x^2 + 5x - 12$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: คูณทั้งสองลบ

คำนวณ $(x - 2)(x - 5)$

วิธีทำ:

F: $x \cdot x = x^2$
O: $x \cdot (-5) = -5x$
I: $-2 \cdot x = -2x$
L: $-2 \cdot (-5) = 10$
รวมพจน์: $x^2 - 5x - 2x + 10 = x^2 - 7x + 10$

2.5 สูตรพิเศษที่ควรจำ

มีสูตรพิเศษบางสูตรที่ช่วยคำนวณได้รวดเร็ว ควรท่องจำไว้

✨ กำลังสองของผลบวก

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

ตัวอย่าง:

(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9

✨ กำลังสองของผลต่าง

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

ตัวอย่าง:

(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16

✨ ผลต่างของกำลังสอง

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

ตัวอย่าง:

(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25

✍️ แบบฝึกหัดท้ายบท

ฝึกฝนทักษะการดำเนินการพีชคณิตด้วยโจทย์หลากหลายรูปแบบ

📌 ข้อ 1: จงคำนวณ

(7x + 4) - (3x - 5)

▼

เฉลย:

เอาวงเล็บออก: $7x + 4 - 3x + 5$
จัดกลุ่ม: $(7x - 3x) + (4 + 5)$
รวมพจน์: $4x + 9$

✅ ตอบ: $4x + 9$

📌 ข้อ 2: จงคำนวณ

4(2x - 3)

▼

เฉลย:

ใช้กฎการแจกแจง: $4 \cdot 2x - 4 \cdot 3$
คำนวณ: $8x - 12$

✅ ตอบ: $8x - 12$

📌 ข้อ 3: จงคำนวณ

3x(2x - 5)

▼

เฉลย:

ใช้กฎการแจกแจง: $3x \cdot 2x - 3x \cdot 5$
คำนวณ: $6x^2 - 15x$

✅ ตอบ: $6x^2 - 15x$

📌 ข้อ 4: จงคำนวณ

(x + 4)(x + 2)

▼

เฉลย:

ใช้ FOIL:
- F: $x \cdot x = x^2$
- O: $x \cdot 2 = 2x$
- I: $4 \cdot x = 4x$
- L: $4 \cdot 2 = 8$
รวมพจน์: $x^2 + 2x + 4x + 8 = x^2 + 6x + 8$

✅ ตอบ: $x^2 + 6x + 8$

📌 ข้อ 5: จงคำนวณ

(2x - 1)(x + 3)

▼

เฉลย:

ใช้ FOIL:
- F: $2x \cdot x = 2x^2$
- O: $2x \cdot 3 = 6x$
- I: $-1 \cdot x = -x$
- L: $-1 \cdot 3 = -3$
รวมพจน์: $2x^2 + 6x - x - 3 = 2x^2 + 5x - 3$

✅ ตอบ: $2x^2 + 5x - 3$

📌 ข้อ 6: จงคำนวณ

(x + 6)(x - 6)

▼

เฉลย:

ใช้สูตรผลต่างกำลังสอง: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
$x^2 - 6^2 = x^2 - 36$

✅ ตอบ: $x^2 - 36$

📌 ข้อ 7: จงคำนวณ

(x + 3)^2

▼

เฉลย:

ใช้สูตร $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$x^2 + 2(x)(3) + 3^2$
$x^2 + 6x + 9$

✅ ตอบ: $x^2 + 6x + 9$

📌 ข้อ 8: จงคำนวณ

-2(3x - 4y + 5)

▼

เฉลย:

ใช้กฎการแจกแจง คูณ -2 เข้าทุกพจน์:
$-2 \cdot 3x + (-2) \cdot (-4y) + (-2) \cdot 5$
$-6x + 8y - 10$

✅ ตอบ: $-6x + 8y - 10$

📊 สรุปส่วนที่ 2

✅ ความรู้สำคัญที่ต้องจำ

บวกลบนิพจน์: รวมพจน์ที่เหมือนกัน
− หน้าวงเล็บ: กลับเครื่องหมายทุกพจน์
การคูณ: ใช้กฎการแจกแจง
FOIL: First, Outer, Inner, Last

$(a+b)^2$ : $a^2 + 2ab + b^2$
$(a-b)^2$ : $a^2 - 2ab + b^2$
$(a+b)(a-b)$ : $a^2 - b^2$
เลขชี้กำลัง: $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$

💡 เทคนิคสำคัญ

✅ เครื่องหมายลบ: $-(3x - 5) = -3x + 5$ ไม่ใช่ $-3x - 5$
✅ การคูณ: อย่าลืมคูณทุกพจน์ ในวงเล็บ
✅ FOIL: ใช้กับทวิพจน์ × ทวิพจน์ เท่านั้น
✅ สูตรพิเศษ: ท่องจำไว้ทำได้เร็วกว่าคูณยาวๆ
✅ ตรวจสอบ: ดูจำนวนพจน์ $(a+b)(c+d)$ ควรได้ 4 พจน์
✅ รวมพจน์: หลังคูณแล้วต้องรวมพจน์เหมือนกันทุกครั้ง
✅ เรียงลำดับ: เขียนคำตอบจาก $x^2 \rightarrow x \rightarrow$ ค่าคงที่

🎯 ขั้นต่อไป

เยี่ยมมาก! คุณได้เรียนรู้การดำเนินการพีชคณิตแล้ว
พร้อมสำหรับส่วนที่ 3: สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

ไปส่วนที่ 3 →

ทบทวนส่วนที่ 1

📚 ส่วนถัดไป: สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว – วิธีแก้และการตรวจสอบคำตอบ

🔢 บทที่ 2: พีชคณิต (Algebra)

ส่วนที่ 3: สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เรียนรู้การแก้สมการและตรวจสอบคำตอบอย่างเป็นระบบ

🎯 ส่วนที่ 3: สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (Linear Equation in One Variable) คือสมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และตัวแปรนั้นมีเลขชี้กำลังเป็น 1 เป็นสมการพื้นฐานที่สำคัญที่สุดในพีชคณิต

3.1 ความหมายของสมการ

สมการคือประโยคทางคณิตศาสตร์ที่แสดงความเท่ากันระหว่างสองนิพจน์ โดยมีเครื่องหมาย = คั่นกลาง

🔵 ส่วนประกอบของสมการ

$2x + 5 = 13$

สมาชิกซ้าย: $2x + 5$
เครื่องหมายเท่ากับ: $=$
สมาชิกขวา: $13$
คำตอบ/ราก: ค่า $x$ ที่ทำให้สมการเป็นจริง

🟢 รูปแบบมาตรฐาน

$ax + b = c$

โดยที่:

$a$ = สัมประสิทธิ์ของ $x$
$b$ = ค่าคงที่
$c$ = ค่าคงที่ทางขวา
$a \neq 0$

3.2 หลักการแก้สมการเชิงเส้น

การแก้สมการเชิงเส้นมีเป้าหมายเพื่อหาค่าของตัวแปร โดยใช้หลักการที่ว่า “สิ่งที่ทำกับสมาชิกซ้าย ต้องทำกับสมาชิกขวาเสมอ”

📐 หลักการสำคัญ 4 ข้อ

หลักการ	กฎ	ตัวอย่าง
1. บวกทั้งสองข้าง	ถ้า $a = b$ แล้ว $a + c = b + c$	$x - 3 = 5$ $x - 3 + 3 = 5 + 3$ $x = 8$
2. ลบทั้งสองข้าง	ถ้า $a = b$ แล้ว $a - c = b - c$	$x + 7 = 12$ $x + 7 - 7 = 12 - 7$ $x = 5$
3. คูณทั้งสองข้าง	ถ้า $a = b$ แล้ว $ac = bc$	$\frac{x}{4} = 3$ $\frac{x}{4} \times 4 = 3 \times 4$ $x = 12$
4. หารทั้งสองข้าง	ถ้า $a = b$ แล้ว $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ( $c \neq 0$ )	$5x = 20$ $\frac{5x}{5} = \frac{20}{5}$ $x = 4$

3.3 ขั้นตอนการแก้สมการ

ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อแก้สมการอย่างเป็นระบบ

📝 ขั้นตอนการแก้สมการ (6 ขั้นตอน)

เอาวงเล็บออก (ถ้ามี) โดยใช้กฎการแจกแจง
รวมพจน์ที่เหมือนกัน ในแต่ละข้างของสมการ
ย้ายพจน์ที่มีตัวแปร ไปอยู่ข้างเดียวกัน (มักเป็นซ้าย)
ย้ายค่าคงที่ ไปอีกข้างหนึ่ง (มักเป็นขวา)
หารหรือคูณ เพื่อให้ตัวแปรเหลือเพียงตัวเดียว
ตรวจสอบคำตอบ โดยแทนค่ากลับเข้าไปในสมการเดิม

3.4 ตัวอย่างการแก้สมการ

เรียนรู้จากตัวอย่างที่หลากหลายตั้งแต่ง่ายไปยาก

✏️ ตัวอย่างที่ 1: สมการง่าย (1 ขั้นตอน)

โจทย์: แก้สมการ $x + 5 = 12$

วิธีทำ:

ลบ 5 ทั้งสองข้าง: $x + 5 - 5 = 12 - 5$
ได้ $x = 7$

ตรวจสอบ: แทน $x = 7$ ใน $x + 5 = 12$

$7 + 5 = 12$ ✓ ถูกต้อง

✅ คำตอบ: $x = 7$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: สมการปานกลาง (2 ขั้นตอน)

โจทย์: แก้สมการ $3x - 7 = 14$

วิธีทำ:

บวก 7 ทั้งสองข้าง: $3x - 7 + 7 = 14 + 7$
ได้ $3x = 21$
หารทั้งสองข้างด้วย 3: $\frac{3x}{3} = \frac{21}{3}$
ได้ $x = 7$

ตรวจสอบ: แทน $x = 7$ ใน $3x - 7 = 14$

$3(7) - 7 = 21 - 7 = 14$ ✓ ถูกต้อง

✅ คำตอบ: $x = 7$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: สมการมีตัวแปรทั้งสองข้าง

โจทย์: แก้สมการ $5x - 3 = 2x + 9$

วิธีทำ:

ลบ $2x$ ทั้งสองข้าง: $5x - 2x - 3 = 2x - 2x + 9$
ได้ $3x - 3 = 9$
บวก 3 ทั้งสองข้าง: $3x - 3 + 3 = 9 + 3$
ได้ $3x = 12$
หารด้วย 3: $x = 4$

ตรวจสอบ: แทน $x = 4$ ใน $5x - 3 = 2x + 9$

ซ้าย: $5(4) - 3 = 20 - 3 = 17$

ขวา: $2(4) + 9 = 8 + 9 = 17$ ✓ ถูกต้อง

✅ คำตอบ: $x = 4$

✏️ ตัวอย่างที่ 4: สมการมีวงเล็บ

โจทย์: แก้สมการ $2(x + 3) = 16$

วิธีทำ:

เอาวงเล็บออก: $2x + 6 = 16$
ลบ 6 ทั้งสองข้าง: $2x = 10$
หารด้วย 2: $x = 5$

ตรวจสอบ: แทน $x = 5$ ใน $2(x + 3) = 16$

$2(5 + 3) = 2(8) = 16$ ✓ ถูกต้อง

✅ คำตอบ: $x = 5$

✏️ ตัวอย่างที่ 5: สมการซับซ้อน

โจทย์: แก้สมการ $3(2x - 1) - 2(x + 4) = 7$

วิธีทำ:

เอาวงเล็บออก: $6x - 3 - 2x - 8 = 7$
รวมพจน์เหมือนกัน: $4x - 11 = 7$
บวก 11 ทั้งสองข้าง: $4x = 18$
หารด้วย 4: $x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$

ตรวจสอบ: แทน $x = 4.5$ ใน $3(2x - 1) - 2(x + 4) = 7$

3(2(4.5) - 1) - 2(4.5 + 4)

$= 3(9 - 1) - 2(8.5) = 3(8) - 17 = 24 - 17 = 7$ ✓ ถูกต้อง

✅ คำตอบ: $x = \frac{9}{2}$ หรือ $4.5$

3.5 กรณีพิเศษของสมการ

บางครั้งสมการอาจมีลักษณะพิเศษที่ต้องระวัง

✅ มีคำตอบเพียงหนึ่งเดียว

สมการปกติทั่วไป

ตัวอย่าง: $2x + 3 = 7$

คำตอบ: $x = 2$

♾️ มีคำตอบไม่จำกัด

สมการที่เป็นจริงทุกค่า $x$

ตัวอย่าง: $3x + 5 = 3x + 5$

คำตอบ: ทุกค่า $x$

❌ ไม่มีคำตอบ

สมการที่ขัดแย้งกัน

ตัวอย่าง: $2x + 3 = 2x + 7$

ได้ $3 = 7$ เท็จ

⚠️ ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย เมื่อย้ายพจน์ข้ามเครื่องหมาย =
❌ ลืมคูณหรือหารทั้งสองข้าง เมื่อมีสัมประสิทธิ์หน้า $x$
❌ เอาวงเล็บออกผิด โดยเฉพาะเมื่อมีเครื่องหมาย −
❌ ไม่ตรวจสอบคำตอบ ทำให้มั่นใจผิดพลาด
❌ หารด้วยศูนย์ ต้องระวังว่า $x \neq 0$

✍️ แบบฝึกหัดท้ายบท

ฝึกแก้สมการเชิงเส้นจากง่ายไปยาก พร้อมเฉลยละเอียดทุกขั้นตอน

📌 ข้อ 1: แก้สมการ

x - 8 = 15

▼

เฉลย:

บวก 8 ทั้งสองข้าง: $x - 8 + 8 = 15 + 8$
ได้ $x = 23$
ตรวจสอบ: $23 - 8 = 15$ ✓

✅ ตอบ: $x = 23$

📌 ข้อ 2: แก้สมการ

4x = 28

▼

เฉลย:

หารทั้งสองข้างด้วย 4: $\frac{4x}{4} = \frac{28}{4}$
ได้ $x = 7$
ตรวจสอบ: $4(7) = 28$ ✓

✅ ตอบ: $x = 7$

📌 ข้อ 3: แก้สมการ

2x + 5 = 17

▼

เฉลย:

ลบ 5 ทั้งสองข้าง: $2x = 12$
หารด้วย 2: $x = 6$
ตรวจสอบ: $2(6) + 5 = 12 + 5 = 17$ ✓

✅ ตอบ: $x = 6$

📌 ข้อ 4: แก้สมการ

7x - 4 = 3x + 12

▼

เฉลย:

ลบ $3x$ ทั้งสองข้าง: $4x - 4 = 12$
บวก 4 ทั้งสองข้าง: $4x = 16$
หารด้วย 4: $x = 4$
ตรวจสอบ: ซ้าย $7(4)-4=24$ , ขวา $3(4)+12=24$ ✓

✅ ตอบ: $x = 4$

📌 ข้อ 5: แก้สมการ

3(x - 2) = 18

▼

เฉลย:

เอาวงเล็บออก: $3x - 6 = 18$
บวก 6 ทั้งสองข้าง: $3x = 24$
หารด้วย 3: $x = 8$
ตรวจสอบ: $3(8-2) = 3(6) = 18$ ✓

✅ ตอบ: $x = 8$

📌 ข้อ 6: แก้สมการ

5(x + 2) - 3x = 22

▼

เฉลย:

เอาวงเล็บออก: $5x + 10 - 3x = 22$
รวมพจน์: $2x + 10 = 22$
ลบ 10: $2x = 12$
หารด้วย 2: $x = 6$
ตรวจสอบ: $5(6+2)-3(6)=5(8)-18=40-18=22$ ✓

✅ ตอบ: $x = 6$

📌 ข้อ 7: แก้สมการ

\frac{x}{3} + 5 = 9

▼

เฉลย:

ลบ 5 ทั้งสองข้าง: $\frac{x}{3} = 4$
คูณทั้งสองข้างด้วย 3: $x = 12$
ตรวจสอบ: $\frac{12}{3} + 5 = 4 + 5 = 9$ ✓

✅ ตอบ: $x = 12$

📌 ข้อ 8: แก้สมการ

4(x - 1) + 3 = 2(x + 5) - 1

▼

เฉลย:

เอาวงเล็บออก: $4x - 4 + 3 = 2x + 10 - 1$
รวมพจน์: $4x - 1 = 2x + 9$
ลบ $2x$ : $2x - 1 = 9$
บวก 1: $2x = 10$
หารด้วย 2: $x = 5$
ตรวจสอบ: ซ้าย $4(4)+3=19$ , ขวา $2(10)-1=19$ ✓

✅ ตอบ: $x = 5$

📊 สรุปส่วนที่ 3

✅ ความรู้สำคัญที่ต้องจำ

รูปแบบ: $ax + b = c$
เป้าหมาย: หาค่า $x$
หลักการ: ทำอะไรข้างหนึ่ง ต้องทำอีกข้าง
ขั้นตอน: เอาวงเล็บออก → รวมพจน์ → ย้าย $x$ → หาร

ตรวจสอบ: แทนค่ากลับเข้าไปเสมอ
กรณีพิเศษ: อาจมีคำตอบ 1, ∞ หรือ 0
ระวัง: เครื่องหมาย − และวงเล็บ
เคล็ดลับ: ทำทีละขั้นตอน อย่าเร็วเกินไป

💡 เทคนิคแก้สมการให้รวดเร็ว

✅ เป้าหมายชัดเจน: ต้องการ $x = ...$ ฝั่งซ้าย ตัวเลขฝั่งขวา
✅ ย้ายอย่างระมัดระวัง: ข้ามเครื่องหมาย = ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
✅ ทำตามลำดับ: วงเล็บ → รวมพจน์ → ย้ายตัวแปร → หาร
✅ ตรวจทุกครั้ง: แทนค่ากลับไปดู ถูกต้องหรือไม่
✅ เขียนเรียบร้อย: เขียนทุกขั้นตอน อย่าข้าม
✅ เศษส่วน: คูณข้ามเพื่อกำจัดเศษส่วนก่อน
✅ สองฝั่งมี $x$ : รวม $x$ ข้างเดียวกันก่อน
✅ วงเล็บซับซ้อน: แจกแจงทีละวงเล็บ ไม่เร่งรีบ

🎯 ขั้นต่อไป

ยอดเยี่ยม! คุณเชี่ยวชาญสมการเชิงเส้นแล้ว
พร้อมสำหรับส่วนที่ 4: การแยกตัวประกอบ

ไปส่วนที่ 4 →

ทบทวนส่วนที่ 2

📚 ส่วนถัดไป: การแยกตัวประกอบ – เทคนิคและสูตรพิเศษ

🔢 บทที่ 2: พีชคณิต (Algebra)

ส่วนที่ 4: การแยกตัวประกอบ
เทคนิคการแยกตัวประกอบนิพจน์พีชคณิตและสูตรพิเศษ

🧩 ส่วนที่ 4: การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบ (Factoring) คือการเขียนนิพจน์พีชคณิตในรูปผลคูณของตัวประกอบที่ง่ายกว่า เป็นทักษะสำคัญที่ใช้ในการแก้สมการกำลังสองและการทำนิพจน์ให้เรียบง่าย

4.1 ความหมายของการแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบคือการเขียนนิพจน์ในรูปผลคูณ ตรงข้ามกับการแจกแจง

🔄 ความสัมพันธ์ระหว่างการแจกแจงและการแยกตัวประกอบ

→ การแจกแจง

$3(x + 5) = 3x + 15$

จากผลคูณ → ไปเป็นผลบวก

← การแยกตัวประกอบ

$3x + 15 = 3(x + 5)$

จากผลบวก → ไปเป็นผลคูณ

4.2 การหาตัวประกอบร่วม (Common Factor)

วิธีการพื้นฐานที่สุดในการแยกตัวประกอบคือการหาตัวประกอบร่วมออกมาวงเล็บ

📐 ขั้นตอนการหาตัวประกอบร่วม

หา ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ทั้งหมด
หาตัวแปรร่วม (เลือกเลขชี้กำลังน้อยสุด)
เอาออกวงเล็บ แล้วหารนิพจน์ด้วยตัวประกอบร่วม
ตรวจสอบ โดยแจกแจงกลับเข้าไป

✏️ ตัวอย่างที่ 1: ตัวประกอบเป็นตัวเลข

แยกตัวประกอบ $6x + 9$

วิธีทำ:

หา ห.ร.ม. ของ 6 และ 9 = 3
เอา 3 ออกวงเล็บ: $3(2x + 3)$
ตรวจสอบ: $3(2x + 3) = 6x + 9$ ✓

✅ คำตอบ: $3(2x + 3)$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: ตัวประกอบเป็นตัวแปร

แยกตัวประกอบ $4x^2 + 2x$

วิธีทำ:

ห.ร.ม. ของ 4 และ 2 = 2
ตัวแปรร่วม: $x$ (เลขชี้กำลังน้อยสุดคือ 1)
ตัวประกอบร่วม = $2x$
เอาออกวงเล็บ: $2x(2x + 1)$
ตรวจสอบ: $2x(2x + 1) = 4x^2 + 2x$ ✓

✅ คำตอบ: $2x(2x + 1)$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: หลายพจน์

แยกตัวประกอบ $12x^3 - 18x^2 + 6x$

วิธีทำ:

ห.ร.ม. ของ 12, 18, 6 = 6
ตัวแปรร่วม: $x$
ตัวประกอบร่วม = $6x$
$6x(2x^2 - 3x + 1)$
ตรวจสอบ: $6x(2x^2 - 3x + 1) = 12x^3 - 18x^2 + 6x$ ✓

✅ คำตอบ: $6x(2x^2 - 3x + 1)$

4.3 การแยกตัวประกอบด้วยการจัดกลุ่ม

เมื่อนิพจน์มี 4 พจน์ เราสามารถจัดกลุ่มพจน์เพื่อหาตัวประกอบร่วมได้

📐 ขั้นตอนการจัดกลุ่ม

แบ่งเป็น 2 กลุ่ม (2 พจน์แรก และ 2 พจน์หลัง)
หาตัวประกอบร่วมของแต่ละกลุ่ม
หาตัวประกอบร่วมระหว่างกลุ่ม (ในวงเล็บต้องเหมือนกัน)
เขียนในรูปผลคูณ

✏️ ตัวอย่าง: การจัดกลุ่ม

แยกตัวประกอบ $ax + ay + bx + by$

วิธีทำ:

จัดกลุ่ม: $(ax + ay) + (bx + by)$
หาตัวประกอบร่วมแต่ละกลุ่ม: $a(x + y) + b(x + y)$
เห็น $(x + y)$ เหมือนกัน เอาออกมา: $(x + y)(a + b)$

✅ คำตอบ: $(x + y)(a + b)$

✏️ ตัวอย่างตัวเลข

แยกตัวประกอบ $3x + 3y + 2x + 2y$

วิธีทำ:

จัดกลุ่ม: $(3x + 3y) + (2x + 2y)$
หาตัวประกอบร่วม: $3(x + y) + 2(x + y)$
เอา $(x + y)$ ออกมา: $(x + y)(3 + 2) = (x + y)(5)$

✅ คำตอบ: $5(x + y)$ หรือ $(x + y)(5)$

4.4 สูตรพิเศษในการแยกตัวประกอบ

มีสูตรพิเศษที่ช่วยให้แยกตัวประกอบได้รวดเร็ว ควรท่องจำไว้

⭐ สูตรพิเศษ 3 สูตร

1️⃣ ผลต่างกำลังสอง

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

ตัวอย่าง:

x^2 - 25 = (x+5)(x-5)

4x^2 - 9 = (2x+3)(2x-3)

2️⃣ กำลังสองสมบูรณ์ (+)

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$

ตัวอย่าง:

x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2

4x^2 + 12x + 9 = (2x+3)^2

3️⃣ กำลังสองสมบูรณ์ (−)

$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$

ตัวอย่าง:

x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2

9x^2 - 6x + 1 = (3x-1)^2

🔍 วิธีจำแนกสูตร

รูปแบบ	สังเกต	สูตร
$a^2 - b^2$	มี − และเป็นกำลังสอง 2 พจน์	$(a+b)(a-b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	3 พจน์ พจน์กลางเป็น $+2ab$	$(a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	3 พจน์ พจน์กลางเป็น $-2ab$	$(a-b)^2$

4.5 การแยกตัวประกอบตรีพจน์ $x^2 + bx + c$

การแยกตัวประกอบตรีพจน์รูปแบบ $x^2 + bx + c$ เป็นทักษะสำคัญในการแก้สมการกำลังสอง

📐 วิธีการแยก $x^2 + bx + c$

$x^2 + bx + c = (x + m)(x + n)$

โดยที่ $m + n = b$ และ $m \times n = c$

📝 ขั้นตอนการหา m และ n

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ c
เลือกคู่ที่บวกกันได้ b
เขียนในรูป $(x + m)(x + n)$

✏️ ตัวอย่างที่ 1: ค่า c เป็นบวก

แยกตัวประกอบ $x^2 + 7x + 12$

วิธีทำ:

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ 12:
- $1 \times 12 = 12$ → $1 + 12 = 13$ ✗
- $2 \times 6 = 12$ → $2 + 6 = 8$ ✗
- $3 \times 4 = 12$ → $3 + 4 = 7$ ✓
ดังนั้น $m = 3, n = 4$
เขียน: $(x + 3)(x + 4)$
ตรวจสอบ: $(x+3)(x+4) = x^2 + 4x + 3x + 12 = x^2 + 7x + 12$ ✓

✅ คำตอบ: $(x + 3)(x + 4)$

✏️ ตัวอย่างที่ 2: ค่า c เป็นลบ

แยกตัวประกอบ $x^2 + 2x - 15$

วิธีทำ:

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ -15 (ต้องมีเครื่องหมายต่างกัน):
- $1 \times (-15) = -15$ → $1 + (-15) = -14$ ✗
- $3 \times (-5) = -15$ → $3 + (-5) = -2$ ✗
- $5 \times (-3) = -15$ → $5 + (-3) = 2$ ✓
ดังนั้น $m = 5, n = -3$
เขียน: $(x + 5)(x - 3)$

✅ คำตอบ: $(x + 5)(x - 3)$

✏️ ตัวอย่างที่ 3: ค่า b เป็นลบ

แยกตัวประกอบ $x^2 - 8x + 15$

วิธีทำ:

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ 15 และบวกกันได้ -8:
- $(-1) \times (-15) = 15$ → $-1 + (-15) = -16$ ✗
- $(-3) \times (-5) = 15$ → $-3 + (-5) = -8$ ✓
ดังนั้น $m = -3, n = -5$
เขียน: $(x - 3)(x - 5)$

✅ คำตอบ: $(x - 3)(x - 5)$

💡 เคล็ดลับการหา m และ n

กรณี	เครื่องหมาย m, n	ตัวอย่าง
$b > 0, c > 0$	ทั้งคู่เป็นบวก	$x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$
$b < 0, c > 0$	ทั้งคู่เป็นลบ	$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$
$c < 0[/katex]</td> <td>คนละเครื่องหมาย</td> <td>[katex]x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)$

✍️ แบบฝึกหัดท้ายบท

ฝึกแยกตัวประกอบในรูปแบบต่างๆ พร้อมเฉลยละเอียดทุกขั้นตอน

📌 ข้อ 1: แยกตัวประกอบ

8x + 12

▼

เฉลย:

หา ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 = 4
เอา 4 ออกวงเล็บ: $4(2x + 3)$
ตรวจสอบ: $4(2x + 3) = 8x + 12$ ✓

✅ ตอบ: $4(2x + 3)$

📌 ข้อ 2: แยกตัวประกอบ

x^2 - 49

▼

เฉลย:

สังเกตว่าเป็นผลต่างกำลังสอง: $x^2 - 7^2$
ใช้สูตร $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
ได้ $(x + 7)(x - 7)$

✅ ตอบ: $(x + 7)(x - 7)$

📌 ข้อ 3: แยกตัวประกอบ

x^2 + 10x + 25

▼

เฉลย:

สังเกตว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $x^2 + 2(5)(x) + 5^2$
ใช้สูตร $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
ได้ $(x + 5)^2$

✅ ตอบ: $(x + 5)^2$

📌 ข้อ 4: แยกตัวประกอบ

x^2 + 9x + 20

▼

เฉลย:

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ 20 และบวกกันได้ 9:
- $4 \times 5 = 20$ และ $4 + 5 = 9$ ✓
ได้ $(x + 4)(x + 5)$
ตรวจสอบ: $(x+4)(x+5) = x^2 + 9x + 20$ ✓

✅ ตอบ: $(x + 4)(x + 5)$

📌 ข้อ 5: แยกตัวประกอบ

x^2 - 3x - 18

▼

เฉลย:

หาคู่จำนวนที่คูณกันได้ -18 และบวกกันได้ -3:
- $6 \times (-3) = -18$ และ $6 + (-3) = 3$ ✗
- $(-6) \times 3 = -18$ และ $-6 + 3 = -3$ ✓
ได้ $(x - 6)(x + 3)$

✅ ตอบ: $(x - 6)(x + 3)$

📌 ข้อ 6: แยกตัวประกอบ

3x^2 + 6x

▼

เฉลย:

ห.ร.ม. ของสัมประสิทธิ์ = 3
ตัวแปรร่วม = $x$
ตัวประกอบร่วม = $3x$
เอาออกวงเล็บ: $3x(x + 2)$

✅ ตอบ: $3x(x + 2)$

📌 ข้อ 7: แยกตัวประกอบ

4x^2 - 25

▼

เฉลย:

สังเกตว่าเป็นผลต่างกำลังสอง: $(2x)^2 - 5^2$
ใช้สูตร $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
ได้ $(2x + 5)(2x - 5)$

✅ ตอบ: $(2x + 5)(2x - 5)$

📌 ข้อ 8: แยกตัวประกอบ

x^2 - 12x + 36

▼

เฉลย:

สังเกตว่าเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $x^2 - 2(6)(x) + 6^2$
ใช้สูตร $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
ได้ $(x - 6)^2$
ตรวจสอบ: $(x-6)^2 = x^2 - 12x + 36$ ✓

✅ ตอบ: $(x - 6)^2$

📊 สรุปส่วนที่ 4

✅ ความรู้สำคัญที่ต้องจำ

การแยกตัวประกอบ: เขียนในรูปผลคูณ
ตัวประกอบร่วม: หา ห.ร.ม. และตัวแปรร่วม
การจัดกลุ่ม: แบ่ง 2 กลุ่ม หาตัวประกอบร่วม
ผลต่างกำลังสอง: $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$

กำลังสองสมบูรณ์ (+): $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$
กำลังสองสมบูรณ์ (−): $a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2$
ตรีพจน์: หา m, n ที่ $m \times n = c$ และ $m + n = b$
ตรวจสอบ: แจกแจงกลับเข้าไป

💡 เทคนิคแยกตัวประกอบอย่างมีประสิทธิภาพ

✅ เริ่มต้นเสมอ: หาตัวประกอบร่วมก่อนเสมอ
✅ จำนวนพจน์: 2 พจน์ → ผลต่างกำลังสอง, 3 พจน์ → กำลังสองสมบูรณ์หรือตรีพจน์
✅ สูตรพิเศษ: ท่องจำให้ขึ้นใจ ใช้บ่อยมาก
✅ ผลต่างกำลังสอง: ต้องมี − เท่านั้น (+ ทำไม่ได้)
✅ กำลังสองสมบูรณ์: ตรวจพจน์กลาง ต้องเป็น $2ab$
✅ หา m, n: ลองคู่จำนวนตั้งแต่เล็กไปใหญ่
✅ เครื่องหมาย: c < 0[/katex] → m, n ต่างเครื่องหมาย
✅ ตรวจทุกครั้ง: แจกแจงกลับเพื่อตรวจสอบ

🎯 ขั้นต่อไป

สุดยอด! คุณเชี่ยวชาญการแยกตัวประกอบแล้ว
พร้อมสำหรับส่วนที่ 5: สมการกำลังสอง

ไปส่วนที่ 5 →

ทบทวนส่วนที่ 3

📚 ส่วนถัดไป: สมการกำลังสอง - การแก้สมการด้วยวิธีต่างๆ