📐 บทที่ 1: เลขคณิต (Arithmetic)

เลขคณิตเป็นรากฐานสำคัญของคณิตศาสตร์ทั้งหมด
บทนี้จะพาคุณทำความเข้าใจตั้งแต่พื้นฐานจนถึงการประยุกต์ใช้

---

🔢 ส่วนที่ 1: พื้นฐานเลขคณิต

เลขคณิต (Arithmetic) คือ สาขาพื้นฐานของคณิตศาสตร์ที่ว่าด้วยการคำนวณเกี่ยวกับจำนวน ครอบคลุมการดำเนินการพื้นฐาน 4 ประการ คือ บวก ลบ คูณ หาร

1.1 ประเภทของจำนวน

ก่อนที่จะเรียนรู้การคำนวณ เราต้องเข้าใจประเภทของจำนวนต่างๆ ก่อน

1.2 การดำเนินการทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน

การดำเนินการพื้นฐาน 4 ประการที่ต้องเชี่ยวชาญ:

การดำเนินการ	สัญลักษณ์	ตัวอย่าง	คุณสมบัติสำคัญ
การบวก (Addition)	+	15 + 23 = 38	สลับที่ได้: a+b=b+a
การลบ (Subtraction)	−	45 - 17 = 28	สลับที่ไม่ได้
การคูณ (Multiplication)	×, ·, *	12 \times 8 = 96	สลับที่ได้: a \times b = b \times a
การหาร (Division)	÷, /, :	56 \div 7 = 8	ห้ามหารด้วยศูนย์

---

📖 ส่วนที่ 2: เศษส่วน (Fractions)

เศษส่วน คือ การแสดงจำนวนที่เป็นส่วนหนึ่งของจำนวนเต็ม เขียนในรูป \frac{a}{b} โดยที่:

• a = ตัวเศษ (Numerator) คือ จำนวนส่วนที่เรามี
• b = ตัวส่วน (Denominator) คือ จำนวนส่วนทั้งหมด (โดยที่ b \neq 0)

2.1 ชนิดของเศษส่วน

เศษส่วนแบ่งออกเป็น 3 ชนิดหลักตามลักษณะของตัวเศษและตัวส่วน:

2.2 การบวกและลบเศษส่วน

📌 กรณีที่ 1: ตัวส่วนเท่ากัน

เมื่อตัวส่วนเท่ากัน ให้นำตัวเศษมาบวกหรือลบกัน แล้วเขียนตัวส่วนเดิม

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

ตัวอย่าง:

• \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{1+2}{4} = \frac{3}{4}
• \frac{7}{10} - \frac{3}{10} = \frac{7-3}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} (ลดรูป)

📌 กรณีที่ 2: ตัวส่วนไม่เท่ากัน

ต้องหา ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย – LCM) ของตัวส่วนก่อน จึงจะบวกหรือลบได้

ขั้นตอน:

1. หา ค.ร.น. ของตัวส่วนทั้งสอง
2. เปลี่ยนเศษส่วนทั้งสองให้มีตัวส่วนเป็น ค.ร.น.
3. นำตัวเศษมาบวกหรือลบกัน
4. ลดรูปถ้าทำได้

ตัวอย่าง: \frac{1}{2} + \frac{1}{3}

1. ค.ร.น. ของ 2 และ 3 = 6
2. \frac{1}{2} = \frac{3}{6} และ \frac{1}{3} = \frac{2}{6}
3. \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

2.3 การคูณและหารเศษส่วน

✖️ การคูณเศษส่วน

คูณตัวเศษกับตัวเศษ และตัวส่วนกับตัวส่วน

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}

ตัวอย่าง:

• \frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}
• \frac{3}{4} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} (ลดรูป)

➗ การหารเศษส่วน

กลับเศษส่วนตัวหาร (สลับตัวเศษกับตัวส่วน) แล้วเปลี่ยนเป็นการคูณ

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

ตัวอย่าง:

• \frac{3}{4} \div \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}
• \frac{2}{3} \div \frac{4}{9} = \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}

2.4 การลดรูปเศษส่วน

การลดรูปเศษส่วนคือการทำให้เศษส่วนอยู่ในรูปอย่างต่ำ โดยหารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย ห.ร.ม. (หารร่วมมาก – GCD)

ตัวอย่าง: ลดรูป \frac{24}{36}

1. หา ห.ร.ม. ของ 24 และ 36 = 12
2. หารทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วย 12
3. \frac{24 \div 12}{36 \div 12} = \frac{2}{3}

---

📏 ส่วนที่ 3: ทศนิยม (Decimals)

ทศนิยม คือ อีกรูปแบบหนึ่งของการแสดงเศษส่วน โดยใช้จุดทศนิยม (.) แยกส่วนจำนวนเต็มและส่วนเศษส่วน

3.1 โครงสร้างของทศนิยม

3.2 การแปลงเศษส่วนเป็นทศนิยม

วิธีการ: นำตัวเศษหารด้วยตัวส่วน

ตัวอย่าง:

• \frac{1}{2} = 1 \div 2 = 0.5
• \frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0.75
• \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0.125
• \frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4

3.3 การแปลงทศนิยมเป็นเศษส่วน

วิธีการ: นับจำนวนตำแหน่งทศนิยม แล้วเขียนเป็นเศษส่วนที่มีตัวส่วนเป็น 10, 100, 1000, …

ตัวอย่าง:

• 0.5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} (1 ตำแหน่ง)
• 0.75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4} (2 ตำแหน่ง)
• 0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} (3 ตำแหน่ง)

3.4 การคำนวณกับทศนิยม

การบวก-ลบ: ให้ตำแหน่งทศนิยมตรงกัน

• 12.5 + 3.75 = 16.25
• 25.8 - 12.45 = 13.35

การคูณ: คูณเหมือนจำนวนเต็ม แล้วนับตำแหน่งทศนิยมรวม

• 2.5 \times 1.2 = 3.0 (1+1 = 2 ตำแหน่ง)

การหาร: เลื่อนจุดทศนิยมของตัวหารให้เป็นจำนวนเต็ม

• 12.5 \div 2.5 = 125 \div 25 = 5

---

💯 ส่วนที่ 4: ร้อยละ (Percentage)

ร้อยละ หมายถึง “ส่วนร้อย” หรือการแบ่งออกเป็น 100 ส่วน ใช้สัญลักษณ์ % (เปอร์เซ็นต์)

4.1 สูตรร้อยละพื้นฐาน

4.2 การแปลงร้อยละ

4.3 โจทย์ปัญหาร้อยละ

📌 การหาส่วนลด

ตัวอย่าง: เสื้อราคา 500 บาท ลดราคา 20% ราคาหลังลดเท่าไร?

วิธีทำ:

1. ส่วนลด = 500 \times \frac{20}{100} = 100 บาท
2. ราคาหลังลด = 500 - 100 = 400 บาท

เทคนิคคิดเร็ว: ลด 20% = คูณ 0.8 → 500 \times 0.8 = 400 บาท

📌 การหาราคาเพิ่ม (VAT)

ตัวอย่าง: อาหารราคา 100 บาท บวก VAT 7% เป็นเงินเท่าไร?

วิธีทำ:

1. VAT = 100 \times \frac{7}{100} = 7 บาท
2. ราคารวม = 100 + 7 = 107 บาท

เทคนิคคิดเร็ว: บวก 7% = คูณ 1.07 → 100 \times 1.07 = 107 บาท

---

🧮 ส่วนที่ 5: ตัวประกอบและตัวคูณ

การเข้าใจเรื่องตัวประกอบและตัวคูณเป็นพื้นฐานสำคัญ ใช้ในการลดรูปเศษส่วนและการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

5.1 ตัวประกอบ (Factors)

คำนิยาม: จำนวนที่หารจำนวนนั้นลงตัว

5.2 ตัวคูณ (Multiples)

คำนิยาม: ผลคูณของจำนวนนั้นกับจำนวนเต็มบวก

---

🔢 ส่วนที่ 6: ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

หารร่วมมาก (ห.ร.ม.) และคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) เป็นแนวคิดสำคัญที่ใช้บ่อยในการแก้โจทย์ปัญหา

6.1 ตัวอย่างการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

6.2 โจทย์ปัญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

📌 ปัญหาที่ 1: ใช้ ห.ร.ม.

โจทย์: มีขนมปัง 24 ชิ้นและนมกล่อง 36 กล่อง ต้องการแบ่งใส่ถุงให้มากที่สุด โดยแต่ละถุงมีขนมปังและนมเท่ากัน จะแบ่งได้กี่ถุง?

วิธีทำ:

1. แยกตัวประกอบ: 24 = 2^3 \times 3 และ 36 = 2^2 \times 3^2
2. หา ห.ร.ม.: 2^2 \times 3 = 12
3. แบ่งได้ 12 ถุง
4. แต่ละถุงมี: 24 \div 12 = 2 ชิ้นขนมปัง และ 36 \div 12 = 3 กล่องนม

ตอบ: แบ่งได้ 12 ถุง (ถุงละ 2 ชิ้นขนมปัง และ 3 กล่องนม)

📌 ปัญหาที่ 2: ใช้ ค.ร.น.

โจทย์: รถบัสสาย A ออกทุก 15 นาที รถบัสสาย B ออกทุก 20 นาที ถ้าออกพร้อมกันเวลา 06:00 น. จะออกพร้อมกันอีกครั้งเวลาใด?

วิธีทำ:

1. แยกตัวประกอบ: 15 = 3 \times 5 และ 20 = 2^2 \times 5
2. หา ค.ร.น.: 2^2 \times 3 \times 5 = 60 นาที
3. จะออกพร้อมกันอีกครั้งภายใน 60 นาที หรือ 1 ชั่วโมง

ตอบ: จะออกพร้อมกันอีกครั้งเวลา 07:00 น.

---

⚡ ส่วนที่ 7: เลขยกกำลังและรากที่สอง

เลขยกกำลังและรากที่สองเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ใช้ในการคำนวณและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

7.1 เลขยกกำลัง (Exponents)

เลขยกกำลังคือการคูณจำนวนเดียวกันหลายครั้ง เขียนในรูป a^n

• a = ฐาน (Base)
• n = เลขชี้กำลัง (Exponent)

ตัวอย่าง: 2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

7.2 รากที่สอง (Square Root)

รากที่สองคือจำนวนที่เมื่อยกกำลังสองแล้วได้จำนวนที่ต้องการ เขียนเป็น \sqrt{a}

ตัวอย่าง: \sqrt{25} = 5 เพราะ 5 \times 5 = 25

---

⚖️ ส่วนที่ 8: อัตราส่วนและสัดส่วน

อัตราส่วนและสัดส่วนใช้ในการเปรียบเทียบปริมาณและแก้โจทย์ปัญหาในชีวิตประจำวัน

8.1 อัตราส่วน (Ratio)

คำนิยาม: การเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณที่มีหน่วยเดียวกัน เขียนในรูป a:b

ตัวอย่าง: นักเรียนชายต่อนักเรียนหญิง = 15:10 = 3:2

8.2 สัดส่วน (Proportion)

คำนิยาม: สมการที่แสดงว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนเท่ากัน เขียนในรูป a:b = c:d

สูตร: a \times d = b \times c

ตัวอย่าง: ถ้า 3:4 = 9:x หาค่า x

1. 3 \times x = 4 \times 9
2. 3x = 36
3. x = 12

---

📝 แบบฝึกหัด

ทดสอบความเข้าใจด้วยแบบฝึกหัด 15 ข้อ พร้อมเฉลยละเอียด

📌 ข้อ 1: คำนวณ \frac{2}{3} + \frac{1}{4} ▼

เฉลย:

1. หา ค.ร.น. ของ 3 และ 4 = 12
2. \frac{2}{3} = \frac{8}{12} และ \frac{1}{4} = \frac{3}{12}
3. \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}

✅ ตอบ: \frac{11}{12}

📌 ข้อ 2: แปลง 0.75 เป็นเศษส่วน ▼

เฉลย:

1. 0.75 = \frac{75}{100}
2. ลดรูป: หา ห.ร.ม. ของ 75 และ 100 = 25
3. \frac{75}{100} = \frac{3}{4}

✅ ตอบ: \frac{3}{4}

📌 ข้อ 3: สินค้าราคา 800 บาท ลด 25% ราคาหลังลดเท่าไร? ▼

เฉลย:

1. ส่วนลด = 800 \times 0.25 = 200 บาท
2. ราคาหลังลด = 800 - 200 = 600 บาท
3. หรือใช้: 800 \times 0.75 = 600 บาท

✅ ตอบ: 600 บาท

📌 ข้อ 4: หา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 ▼

เฉลย:

1. แยกตัวประกอบ: 18 = 2 \times 3^2 และ 24 = 2^3 \times 3
2. เลือกตัวประกอบเหมือนกัน เลขชี้กำลังน้อยสุด
3. ห.ร.ม. = 2^1 \times 3^1 = 6

✅ ตอบ: 6

📌 ข้อ 5: หา ค.ร.น. ของ 12 และ 15 ▼

เฉลย:

1. แยกตัวประกอบ: 12 = 2^2 \times 3 และ 15 = 3 \times 5
2. เลือกตัวประกอบทั้งหมด เลขชี้กำลังมากสุด
3. ค.ร.น. = 2^2 \times 3 \times 5 = 60

✅ ตอบ: 60

---

📊 สรุปบทเรียน

---

📚 บทเรียนถัดไป: พีชคณิต – สมการเชิงเส้นและการแยกตัวประกอบ